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La legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso
oppure teorema di Bernoulli (in quanto la sua prima formulazione
è dovuta a Jakob Bernoulli), descrive il comportamento
della media di una sequenza di n variabili casuali indipendenti e
caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n
misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta ecc.)
al tendere ad infinito della numerosità della sequenza
stessa (n). In altre parole, grazie alla legge dei grandi numeri,
possiamo fidarci che la media che calcoliamo a partire da un
numero sufficiente di campioni sia sufficientemente vicina alla
media vera.
In termini generici, per la legge dei grandi numeri si può
dire:
che la media della sequenza è un'approssimazione, che
migliora al crescere di n, della media della distribuzione;
e che, viceversa, si può prevedere che sequenze siffatte
mostreranno una media tanto più spesso e tanto più
precisamente prossima alla media della distribuzione quanto
più grande sarà n.
Un caso particolare di applicazione della legge dei grandi numeri
è la previsione probabilistica della proporzione di
successi in una sequenza di n realizzazioni indipendenti di un
evento E: per n che tende a infinito, la proporzione di successi
converge alla probabilità di E